题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3。
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积；
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图2）。
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系。

答案

解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6，
∴AH=AC=×6=4，
又∵HF∥DE，
∴HG∥CB，
∴△AHG∽△ACB，
∴，即，
∴HG=，
∴；
（2）①能为正方形；
∵HH′∥CD，HC∥H′D，
∴四边形CDH′H为平行四边形，
又∠C=90°，
∴四边形CDH′H为矩形，
又CH=AC-AH=6-4=2，
∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形，
此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形；
②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，
∴EF∥AB，
∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合，
当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积，
过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC=，
∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=，
∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=，
∴y=；
（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积，
而S_{四边形CBGH}=S_△ABC-S_△AHG=×8×6-=，
S_{矩形CDH′H}=2t，
∴y=-2t；
（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P，BD=8-t，
又，
∴PD=DB=（8-t），
∴重叠部分的面积y=S，
△PDB=PD·DB=·（8-t）（8-t）=（8-t）²=t²-6t+24，
∴重叠部分面积y与t的函数关系式：
。