题目
题型:湖北省中考真题难度:来源:
如图,已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点,过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C,过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F,EF与AC相交于点P。
(2)求证:;
(3)当⊙O与⊙O′为等圆时,且PC∶CE∶EP=3∶4∶5时,求△PEC与△FAP的面积的比值。
答案
∵CA切⊙O"于A,
∴∠CAB=∠F,
∵∠CAB=∠E,
∴∠E=∠F,
∴AF∥CE,
∴,
∴PA·PE=PC·PF①;
(2)证明:在⊙O中,,
①×②得,
∴;
(3)连接AE,由(1)知△PEC∽△PFA,
而PC:CE:EP=3:4:5,
∴PA:FA:PF=3:4:5,
设PC=3x,CE=4x,EP=5x,
∴,
∴∠C=∠CAF=90°,
∴AE为⊙O的直径,AF为⊙O"的直径,
∵⊙O与⊙O"等圆,
∴AE=AF=4y,
∵AC2+CE2=AE2,
∴(3x+3y)2+(4x)2=(4y)2,即25x2+18xy-7y2=0,
即(25x-7y)(x+y)=0,
∴,
∴。
核心考点
试题【如图,已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点,过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C,过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F,EF与AC相交于点P。 (1)求证:PA】;主要考察你对相似三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)如图③,若∠BAC=α,则∠AFB=_____(用含α的式子表示);
(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合),得图④或图⑤。在图④中,∠AFB与∠α的数量关系是____;在图⑤中,∠AFB与∠α的数量关系是____。请你任选其中一个结论证明。
(2)若a=5厘米,求时间t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的相似比;
(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值范围;
(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由。
(2)过点D作DF∥BC交⊙O于点F,求DF的长。
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