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题目
题型:湖北省中考真题难度:来源:

如图,已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点,过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C,过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F,EF与AC相交于点P。



(1)求证:PA·PE=PC·PF;
(2)求证:
(3)当⊙O与⊙O′为等圆时,且PC∶CE∶EP=3∶4∶5时,求△PEC与△FAP的面积的比值。
答案
解:(1)证明:连接AB,
∵CA切⊙O"于A,
∴∠CAB=∠F,
∵∠CAB=∠E,
∴∠E=∠F,
∴AF∥CE,

∴PA·PE=PC·PF①;
(2)证明:在⊙O中,
①×②得

(3)连接AE,由(1)知△PEC∽△PFA,
而PC:CE:EP=3:4:5,
∴PA:FA:PF=3:4:5,
设PC=3x,CE=4x,EP=5x,

∴∠C=∠CAF=90°,
∴AE为⊙O的直径,AF为⊙O"的直径,
∵⊙O与⊙O"等圆,
∴AE=AF=4y,
∵AC2+CE2=AE2
∴(3x+3y)2+(4x)2=(4y)2,即25x2+18xy-7y2=0,
即(25x-7y)(x+y)=0,

核心考点
试题【如图,已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点,过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C,过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F,EF与AC相交于点P。 (1)求证:PA】;主要考察你对相似三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
填空或解答:点B、C、E在同一直线上,点A、D在直线CE的同侧,AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,直线AE、BD交于点F。

(1)如图①,若∠BAC=60°,则∠AFB=_____;如图②,若∠BAC=90°,则∠AFB=____;
(2)如图③,若∠BAC=α,则∠AFB=_____(用含α的式子表示);
(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合),得图④或图⑤。在图④中,∠AFB与∠α的数量关系是____;在图⑤中,∠AFB与∠α的数量关系是____。请你任选其中一个结论证明。
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如图,已知A、B、C、D是⊙O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD、AD。
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的长。
题型:辽宁省中考真题难度:| 查看答案
如图,矩形ABCD中,AD=3厘米,AB=a厘米(a>3),动点M,N同时从B点出发,分别沿B→A,B→C运动,速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分别交AN,CD于P,Q,当点N到达终点C时,点M也随之停止运动,设运动时间为t秒。
(1)若a=4厘米,t=1秒,则PM=______厘米;
(2)若a=5厘米,求时间t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的相似比;
(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值范围;
(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由。
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如图,已知DE∥BC,AD=5,DB=3,BC=9.9,∠B=50°,则∠ADE=(    ),DE=(    ),=(    )。
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已知:如图,△ABC中,CA=CB,点D为AC的中点,以AD为直径的⊙O切BC于点E,AD=2。
(1)求BE的长;
(2)过点D作DF∥BC交⊙O于点F,求DF的长。
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