题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴正半轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数的图像在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F。
（1）分别求出点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）；
（3）分别计算AF与BE的值（结果用含a、b的代数式表示）；
（4）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由。

答案

解：（1）点E（a，1-a），点F（1-b，b）；
（2）
=ab-a（1-a）-b（1-b）-（a+b-1）²=（a+b-1）；
（3）BE=，AF=；
（4）△AOF∽△BOE，
证明：∵OA=OB=1，
∴∠FAO=∠EBO，
∵点P（a，b）是曲线上一点，
∴2ab=1，即AF·BE=1，
又∵OA·OB=1，
∴，
∴△AOF∽△BOE。