题目

题型：同步题难度：来源：

一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法。请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC。
（1）若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD～△ABC（不包括全等）？
（2）请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD～△ABC（不包括全等）的点D的个数。

答案

解：（1）（i）如图，若点D在线段AB上，由于∠ACB＞∠ABC，可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC，使得△ACD∽△ABC；
（ii）如图①，若点D在线段AB的延长线上，则∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，与条件矛盾，因此，这样的点D不存在；
（iii）如图②，若点D在线段AB的反向延长线上，由于∠BAC是锐角，则∠BAC＜90°＜∠CAD，不可能有△ACD∽△ABC，因此，这样的点D不存在，综上所述，这样的点D有一个。