题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：AD=DB；
（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF=90°时，求BF的长.

答案

（1）在⊿ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
∵ AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°.  
∴∠DAB=∠B，
∴AD=DB.            
（2）在⊿AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，∴∠AEF=30°.
∴.
在Rt⊿ABC中，∵∠B=30°，AC=6，∴AB=12.
∴.
∴                   
（3）当∠DEF=90°时，∠CED=180°－∠AEF－∠FED=60°.
∴∠EDC=30°，ED=2x.               
又∵∠EDA=∠EAD=30°，∴ED=AE=6－x.
∴有 2x=6－x，得x=2.               
此时，.
即BF的长为10.                     

解析

（1）利用直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，最后由等角对等边得出结论。
（2）利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，
（3）利用（2）的结论，根据等角对等边得到方程求出x值，从而求出BF的长。