题目

题型：不详难度：来源：

已知△ABC是等边三角形，点P是AC上一点，PE⊥BC于点E，交AB于点F，在CB的延长线上截取BD=PA，PD交AB于点I，.
（1）如图1，若，则=      ，=      ；

（2）如图2，若∠EPD=60º，试求和的值；

（3）如图3，若点P在AC边的延长线上，且，其他条件不变，则=      .(只写答案不写过程)

答案

（1）=      ，=   1   ；
(2)如图设PC= a，则PA=an；连BP，且过P作PM⊥AB于M；过P点作PN∥BC交AB于N

可判断ANP为等边三角形
所以AP=PN=AN
∴△PNI≌△DBI(AAS)
∴IB=
又∵∠PED=90⁰
∴∠D=∠BID= 30⁰
∴BI=BD
=an
∴n=           
在三角形AMP中可得AM=
∴BM="BE="
又DB=PA
∴DE=
又∵∠EPC=∠APF=30⁰ 
而∠CAF=120⁰
∠F=30⁰
AF=AP= an
∴FI=2an+  ∴=== 
(3)=          

解析

（1）①由题意，在直角△BEF中，∠F=30°，则BE=BF，又由∠BAC=∠F+∠APF=60°，可得AF=AP=BD=AB，BD=BF，即可得出；
②如图一，作PG∥BC，IH∥BC，可得IH=FI，易证△PGI≌△DBI，则DI=PI，在△PDE中，IH是中位线，可得IH=DE，即可得出；
（2）连BP，且过P作PM⊥AB于M，过P点作PN∥BC交AB于N，可得ANP为等边三角形，△PNI≌△DBI（AAS），根据等边三角形的性质和全等三角形的性质，可得BI=BD，即a=an，即可得出n的值；在△AMP中可得AM=an，BM=BE=a+an-an=a+an，BE=a+an-a=a+an，由∠EPC=∠APF=30°，而∠CAF=120°，∠F=30°，则AF=AP=an，FI=2an+a，即可求出；
（3）根据（1）的推理原理，即可推出结果．