题目

题型：不详难度：来源：

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．
恒成立的结论有　_________　．（把你认为正确的序号都填上）

答案

①②③⑤

解析

①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本选项正确；
③∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；
④已知△ABC、△DCE为正三角形，
故∠DCE=∠BCA=60°⇒∠DCB=60°，
又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°⇒∠DPC＞60°，
故DP不等于DE，故本选项错误；
⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，
∴∠AOB=60°，故本选项正确．
综上所述，正确的结论是①②③⑤．