题目

题型：不详难度：来源：

如图四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
（1）如图，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是        ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是           ；
③请证明你的上述两猜想；
（2）如图，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想并证明此时DE与EF有怎样的数量关系。
 

答案

（1）①DE=EF；②NE=BF；③根据正方形的性质及N，E分别为AD，AB的中点可得DN=EB，再根据角平分线的性质及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，再根据同角的余角相等证得∠NDE=∠BEF，即可证得△DNE≌△EBF，从而证得结论；（2）DE=EF

解析

试题分析：（1）根据正方形的性质及N，E分别为AD，AB的中点可得DN=EB，再根据角平分线的性质及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，再根据同角的余角相等证得∠NDE=∠BEF，即可证得△DNE≌△EBF，从而证得结论；
（2）在DA边上截取DN=EB，连结NE，点N就使得NE=BF成立，由DN=EB可得AN=AE，根据角平分线的性质可得∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°，再根据同角的余角相等证得∠NDE=∠BEF，即可证得△DNE≌△EBF，从而证得结论.
（1）①DE=EF；
②NE=BF；
③∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，
∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴DE=EF；
（2）在DA边上截取DN=EB，连结NE，点N就使得NE=BF成立，此时，DE="EF"

∵DN="EB"
∴DA-DN="AB-BE" 即AN=AE
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF.
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.