题目

题型：不详难度：来源：

将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为     ，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形形的面积和为       （用含n的代数式表示）.

答案

，

解析

观察这几个图，可以看出来，分别在每个图形中，以每个小白三角形为一个基本图形，那么在这个图形中，就会有很多以一个白色三角形为基础的图形，从中发现规律在第N个图形中，会有4ⁿ个基本形；也可以看出有3ⁿ白色三角形．那么剩余部分的面积为()ⁿ×大三角形的面积，然后即可求出挖去的所有三角形的面积和．
解：观察这几个图，可以看出来，分别在每个图形中，以每个小白三角形为一个基本图形，那么在这个图形中，就会有很多以一个白色三角形为基础的图形．则可以观察出规律，在第N个图形中，会有4ⁿ个基本形；也可以看出有3ⁿ白色三角形．
那么剩余部分的面积就应该是：×大三角形的面积，即()ⁿ×大三角形的面积，
那么第④个图中，剩余图形的面积为()⁴或，
∵三角形的面积是1
第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为：1-()ⁿ．
故答案为：()⁴或；1-()ⁿ．