题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

答案

(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)
[解] (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，ÞCP=24，又sinÐEMP=ÞCM=26。
(2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵ÐEAP=ÐBAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，
∴，即，∴EP=x，
又sinÐEMP=ÞtgÐEMP==Þ=，∴MP=x=PN，
BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (0<x<32)。
(3) j當E在線段AC上時，由(2)知，，即，ÞEM=x=EN，
又AM=AP-MP=x-x=x，
由題設△AME ~ △ENB，∴，Þ=，解得x=22=AP。
k當E在線段BC上時，由題設△AME ~ △ENB，∴ÐAEM=ÐEBN。
由外角定理，ÐAEC=ÐEAB+ÐEBN=ÐEAB+ÐAEM=ÐEMP，
∴Rt△ACE ~ Rt△EPM，Þ，即，ÞCE=…j。
設AP=z，∴PB=50-z，
由Rt△BEP ~ Rt△BAC，Þ，即=，ÞBE=(50-z)，∴CE=BC-BE=30-(50-z)…k。
由j，k，解=30-(50-z)，得z=42=AP。

解析

略