题目

题型：不详难度：来源：

定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.
探究：（1）如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）……依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S_n．
①若△DEF的面积为1000，当n为何值时，3<S_n<4?
（请用计算器进行探索，要求至少写出二次的尝试估算过程）
②当n>1时，请写出一个反映S_n-1,S_n,S_n+1之间关系的等式（不必证明）

答案

解：（1）正确画出分割线CD
（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线，若画成直线不扣分）        

理由：∵ ∠B = ∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD ∽△ACB                 
（2）① △DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为 
∴ 
当 n =3时,S₃ =  ≈15.62                      
当 n = 4时， S₄ =  ≈3.91        
∴当 n= 4时,3 ＜S₄＜ 4
②       

解析

（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线
（2）根据题目找出△DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为规律即可
（3）根据（2）中，利用幂的运算计算易得出