题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明△PAE∽△CDP;
(2)当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,设AP=x,BE=y,求y与x的函数关系式及y的取值范围;
(3)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC⊥QE?若存在,求线段AP与AQ之间的数量关系;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)利用矩形的性质可以得到∠A=∠D,利用PE⊥PC可以得到∠APE=∠DCP,从而证明两三角形相似;
(2)利用上题证得的三角形相似,列出比例式,进而得到两个变量之间的函数关系;
(3)假设存在符合条件的Q点,由于PE⊥PC,且四边形ABCD是矩形,易证得△APE∽△DCP,可得AP•PD=AE•CD,同理可通过△AQE∽△DCQ得到AQ•QD=AE•DC,则AP•PD=AQ•QD,分别用PD、QD表示出AP、AQ,将所得等式进行适当变形即可求得AP、AQ的数量关系.
试题解析:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,∴∠AEP+∠APE=90°,
∵PE⊥PC,∴∠APE+∠CPD=90°,
∴∠AEP=∠DPC,
∴△PAE∽△CDP;
(2)(解法一)∵AP=x,BE=y,∴DP=3-x,AE=2-y. 4分
∵△PAE∽△CDP,∴, 5分
即,∴. 6分
(解法二)∵AP=x,BE=y,∴DP=3-x,AE=2-y. 4分
∵∠A=∠D=90°,∴tan∠AEP=, tan∠DPC=,
∵∠AEP=∠DPC,∴tan∠AEP= tan∠DPC. ∴=,
即,∴.
(解法三)∵AP=x,BE=y,∴DP=3-x,AE=2-y.
如图1,连结CE, ∵∠A=∠B=∠D="90°,"
∴AE2+AP2=PE2,PD2+CD2=CP2,BE2+BC2=CE2,
又∵∠CPE=90°,∴PE2+CP2=CE2,
∴AE2+AP2+PD2+CD2=BE2+BC2,
即(2-y)2+x2+(3-x)2+22=y2+32,整理得:.
∵=,
∴当时,y有最小值,y的最小值为,
又∵点E在AB上运动(显然点E与点A不重合),且AB=2,
∴<2
综上所述,的取值范围是≤<2;
(3)存在,理由如下:
如图2,假设存在这样的点Q,使得QC⊥QE.
由(1)得:△PAE∽△CDP,
∴,
∴,
∵QC⊥QE,∠D=90°,
∴∠AQE+∠DQC=90°,∠DQC+∠DCQ=90°,
∴∠AQE=∠DCQ.
又∵∠A=∠D=90°,
∴△QAE∽△CDQ,
∴,
∴
∴,
即,
∴,
∴,
∴.
∵AP≠AQ,∴AP+AQ=3.又∵AP≠AQ,∴AP≠,即P不能是AD的中点,
∴当P是AD的中点时,满足条件的Q点不存在,
故当P不是AD的中点时,总存在这样的点Q满足条件,此时AP+AQ=3.
考点: 相似三与性质角形的判定;矩形的性质.
核心考点
试题【如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D),连结PC,过点P作PE⊥PC交AB于E.(1)证明△PAE∽△CD】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)判断线段AP与PD的大小关系,并说明理由;
(2)连接PC,当∠ACP=600时,求弧AD的长;
(3)过点D作DE⊥AB,垂足为E(如图②),设AP=x,OE=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
A.4米 B.5米
C.6米 D.8米
A. | B. | C. | D. |
A. B. C. D.
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