题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE=AB，OD=2。
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比。
①求弦CE的长；
②在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE=AB，
∴OA=OC=OE=DE，
则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，
设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，
又∠BOC=108°，
∴∠CDB+∠OCD=108°，
∴x+2x=108°，x=36°，
∴∠CDB=36°；（2）①∵∠COB=108°，
∴∠COD=72°，
又∠OCD=2x=72°，
∴∠OCD=∠COD，
∴OD=CD，
∴△COD是黄金三角形，
∴，
∵OD=2，
∴OC=-1，
∵CD=OD=2，DE=OC=-1，
∴CE=CD-DE=2-（-1）=3-；
②存在，有三个符合条件的点P₁、P₂、P₃（如图所示），
（ⅰ）以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P₁、P₂；
（ ⅱ）以OE为腰的黄金三角形：点P₃与点A重合。