题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x。

（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？

答案

解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x，
∴，
解得1<x<2；
（2）①若AC为斜边，则1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，无解；
②若AB为斜边，则x²=（3-x）²+1，解得x=，
满足1<x<2；
③若BC为斜边，则（3-x）²=1+x²，解得x=，满足1<x<2，
∴x=或x=；
（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD=h，△ABC的面积为S，则S=xh，
①如图甲所示，若点D在线段AB上，
则，
∴（3-x）²-h²=x²-2x+1-h²，即x=3x-4，
∴x²（1-h²）=9x²-24x+16，即x²h²=-8x²+24x-16，
∴S²=x²h²=-2x²+6x-4=-2，
当x=时（满足≤x<2），S²取最大值，从而S取最大值，
②如图乙所示，若点D在线段MA上，则，
同理可得，S²==-2x²+6x-4=-2（x-）²+，
易知此时S<，
综合①②得，△ABC的最大面积为。