题目

题型：期末题难度：来源：

△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a²+b²=c²．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论．

答案

解：若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²＞c²
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a²+b²＜c²．
当△ABC是锐角三角形时， 证明：
过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x
根据勾股定理，得b²﹣x²=AD²=c²﹣（a﹣x）²
即b²﹣x²=c²﹣a²+2ax﹣x²．
∴a²+b²=c²+2ax
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a²+b²＞c²．
当△ABC是钝角三角形时， 证明：
过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D． 设CD为x，则有BD²=a²﹣x²
根据勾股定理，得（b+x）²+a²﹣x²=c²．
即a²+b²+2bx=c²．
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a²+b²＜c²．