题目

题型：安徽省期末题难度：来源：

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90 °，AD=a，BC=b，DC=a+b，且b>a，点M是AB边的中点。
（1）求证：CM⊥DM；
（2）求点M到CD边的距离。（用含a，b的式子表示）

答案

解：（1）延长DM，CB交于点E．（如图3）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADM=∠BEM．
∵点M是AB边的中点，
∴AM=BM
在△ADM与△BEM中，        
∠ADM=∠BEM，           
 ∠AMD=∠BME，            
AM=BM，
∴△ADM≌△BEM，
∴AD=BE=a，DM=EM，
∴CE=CB+BE=b+a
∵CD=，
∴CE=CD
∴CM⊥DM；  
（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F（如图4）
∵CE=CD，DM=EM，   
∴CM平分∠ECD．                 
∵∠ABC= 90°，即MB⊥BC，                
∴MN=MB
∵AD∥BC，∠ABC=90°，  
∴∠A=90°
∵∠DFB=90°，  
∴四边形ABFD为矩形．  
∴BF= AD=a，AB= DF
∴FC= BC－BF =b-a     
∵Rt△DFC中，∠DFC=90°， 
∴ ==4ab
∴ DF=2
∴MN=MB=AB=DF=
即点M到CD边的距离为