题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14， E为AB上一点，BE=2，点F在BC边上运动，以FE为一边作菱形FEHG，使点H 落在AD边上，点G落在梯形ABCD内或其边上，若BF=x，△FCG的面积为y。
（1）当x=_________ 时，四边形FEHG为正方形；
（2）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）在备用图中分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形（不要求尺规作图，不要求写画法），并求△FCG面积的最大值和最小值；（计算过程可简要书写）
（4）△FOG的面积由最大值变到最小值时，点G运动的路线长为______________。

答案

解：（1）4；（2）如图：连接FH，作于Q，则
       ∵菱形FEHG
       
       ∵直角梯形ABCD中  
      
    
   所以y与x的函数关系式为（3）①如右图，当点F运动到使菱形FEHG的顶点H与点A重合时，x取得最小值FCG的面积取得最大值。
画法如下：以E为圆心，EA为半径画弧，交BC边于点F，平移EA到FG，连接AG，得到四边形FEHG，可证得四边形FEHG为菱形。
此时，
    ，FCG面积的最大值为②如右图，当点F运动到使菱形FEHG的顶点G落在梯形ABCD的CD边上时，x取得最大值，FCG的面积取得最小值。
画法如下：在图6中由GQ=4可知，无论点F在BC边上如何运动，点G到BC及AD的距离不变，分别为4、2，取AE的中点P（AP=2），过点P作BC的平行线，交CD边于G，作EG的垂直平分线，分别交AD、BC于H、F顺次连接F、E、H、G得到四边形FEHG，可得证四边形FEHG为菱形。如右图，在上图的基础上继续作于M，
   
    与（2）同理可证得 
  设此时的
   在中，
   由勾股定理得
由菱形的性质可知
     即 
  解得； 此时
 ∴的面积最小值为3
（4）的面积由最大值变到最小值时，点G运动的路线长为