题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，连接EF并展开纸片。
（1）求证：四边形ADEF是正方形；
（2）取线段AF的中点G，连接EG，如果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形。

答案

证明：（1）∵∠A=90°，AB∥DC，
∴∠ADE＝90°，
由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合，
知AD=DE，∠ADF=∠EDF=45°，
∴AD=AF=ED=EF，
∴四边形ADEF是菱形，且∠A＝90°，
∴四边形ADEF是正方形。
（2）∵CE∥BG，且CE≠BG，
∴四边形GBCE是梯形，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=FE，∠A＝∠GFE＝90°，
又∵点G为AF的中点，
∴AG=FG，连接DG，
在△AGD与△FGE中，∵AD=FE，∠A＝∠GFE，AG=FG，
∴△AGD≌△FGE，
∴∠DGA=∠EGB，
∵BG=CD，BG∥CD，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴DG∥CB，
∴∠DGA=∠B，
∴∠EGB=∠B，
∴四边形GBCE是等腰梯形。