题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A。
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由；
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C，当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标；
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的，若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由。

答案

解：（1）四边形OKPA是正方形。理由如下：
∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK，
∴∠PAO=∠OKP=90°，
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°，
∴四边形OKPA是矩形，
又∵OA=OK，
∴四边形OKPA是正方形；
（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为，
过点P作PG⊥BC于G，
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC，
∴△PBC为等边三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=
sin∠PBG=，即，解之得：x=±2（负值舍去），
∴PG=，PA=BC=2，
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3，
∴A（0，），B（1，0）C（3，0），
设二次函数解析式为：，据题意得：，
解之得：，
∴二次函数关系式为：；
②设直线BP的解析式为：y=kx+b，据题意得：，
解之得：，
∴直线BP的解析式为：，
过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：，
解方程组：得，
过点C作直线CM∥PB，则可得直线CM的解析式为：，
解方程组：得，
综上可知，满足条件的M的坐标有四个：（0，），（7，8），（3，0），（4，）。