题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运到，连结DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON。（当P在线段BC上时，如图9：当P在BC的延长线上时，如图10）
（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：
 ①BN=CP： ②OP=ON，且OP⊥ON         
(2)  设AB=4，BP=，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积与的函数关系。

答案

证明：对于图1，
（1）①∵ABCD为正方形，                        
∴∠DCP=90^。，△DCP为Rt△，                        
同理：△CBN为Rt△，                        
而CM⊥DP
∴∠PCM=∠CDP                        
在Rt△DCP与Rt△CBN中：                        
∠DCP=∠CBN=90^。                      
∠CDP=∠PCN,
                       
 CD=BC                       
 ∴Rt△DCP≌Rt△CBN                       
 ∴CP=BN                    
②而∠OCP=∠OBN=45^。                         
OC=OB                      
∴△COP≌△BON
∴ON=OP  ∠COP=∠BON                      
又∵OC⊥OB                        
∴∠COB=∠COP+∠POB=90^。                              
=∠BON+∠POB=90^。                     
∴ON⊥OP                    
（2）S_{四边形OPBN}=S_△ONB+S_△OPB                              
==4 (0<x≤4)          
对于图2，
（1）①∵ABCD为正方形，AC，BD为对角线∴∠DCP=90^。，                        
而CM⊥DP， ∴∠PCM=∠PDC                        
∴∠PDB=∠ACN                      
又∵∠DPB=∠ANC                              
BD=AC                        
∴△PDB≌△NCA                        
∴PB=AN   DP=CN                        
∴CP=BN                     
 ② 而∠PDB=∠ACN                      
且 OD=OC                      
∴△PDO≌△NCO                      
∴OP=ON，∠DOP=∠CON                      
∵∠DOC=90^。 ，∴∠PON=∠NOC+POC=∠DOP+∠POC                      
=∠DOC=90^。 ，∴OP⊥ON。                  
（2）S_{四边形OBNP}=S_△OBP+S_△PBN   (x≥4)