题目

题型：湖南省期末题难度：来源：

如图：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.

（1）四边形MENF是怎样的特殊四边形，证明你的结论。
（2）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何关系，并请证明。

答案

解：（1）已知ABCD为梯形，M为AD的中点
得MB=MC
△MBC为等腰三角形，N为BC的中点
E为BM的中点
得EN∥MC
得△BEN为等腰三角形，且EB=EN
又EB=EM
得EM=EN
同理可证FM=FN，MB=MC，ME=EB，MF=FC
得ME=MF
即四边形MENF为菱形。
（2）梯形的高是底边BC的一半
证明：∠BMC=90°
△ABM≌△CDM
∴△BMC是等腰直角三角形
过M点作BC的高
由等腰三角形三线合一
可得高也是直角三角形斜边（底边）的中线
再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
可得：梯形的高是底边BC的一半。