题目

题型：同步题难度：来源：

如图，以△AOD的三边为边，在AD的同侧作三个等边三角形△AED、△BOD、△AOF，请回答下列问题并说明理由，
（1）四边形OBEF是什么四边形？
（2）当△AOD满足什么条件时，四边形OBEF是菱形？是矩形？
（3）当△AOD满足什么条件时，以O、B、E、F为顶点的四边形不存在？

答案

解：（1）观察图形，再结合已知条件，不难发现将△AOD分别绕点D、A旋转60°便可得到△DBE、△AFE，
因而可知△AOD≌△EBD≌△AFE，
从而有BE=OA=OF、FE=OD=OB；
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知四边形OBEF是平行四边形；
（2）若要使平行四边形OBEF是菱形，只要OB=OF，
由（1）可知，只要OA=OD即可，
所以当△AOD满足OA=OD时，平行四边形OBEF是菱形，
若要使平行四边形OBEF是矩形，只要∠BOF=90°；
此时∠AOD=360°- （∠BOD+∠BOF+∠AOF）=360°- （60°+90°+60°）=150°，
所以当∠AOD=150°时，平行四边形OBEF是矩形；
（3）若以O、B、E、F为顶点的四边形不存在，
只需B、O、F三点在一条直线上，
此时∠AOD=180°- 60°×2=60°，
所以当∠AOD=60°时，以O、B、E、F为顶点的四边形不存在。