题目
题型:不详难度:来源:
(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由;
(2)如图2,P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AB于点Q,QR⊥BD,垂足为点R.
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积;
②当线段BP的长为何值时,△PQR与△BOC相似.
答案
∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的,
∴EC∥AB,且EC=AB,
∴四边形ABCE是平行四边形,
又∵AB=BC,
∴四边形ABCE是菱形;
(2)①四边形PQED的面积不发生变化.
方法一:∵ABCE是菱形,
∴AC⊥BE,OC=
1 |
2 |
∵BC=5,
∴BO=4,
过A作AH⊥BD于H,(如图1).
∵S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
即:
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AH=
24 |
5 |
或∵∠AHC=∠BOC=90°,∠BCA公用,
∴△AHC∽△BOC,
∴AH:BO=AC:BC,
即:AH:4=6:5,
∴AH=
24 |
5 |
由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO,
∴BP=QE,
∴S四边形PQED=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
24 |
5 |
方法二:由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO,
∴S△PBO=S△QEO,
∵△ECD是由△ABC平移得到的,
∴ED∥AC,ED=AC=6,
又∵BE⊥AC,
∴BE⊥ED,
∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED
=
1 |
2 |
1 |
2 |
②方法一:如图2,当点P在BC上运动,使△PQR与△COB相似时,
∵∠2是△OBP的外角,
∴∠2>∠3,
∴∠2不与∠3对应,
∴∠2与∠1对应,
即∠2=∠1,
∴OP=OC=3
过O作OG⊥BC于G,则G为PC的中点,
∴△OGC∽△BOC,
∴CG:CO=CO:BC,
即:CG:3=3:5,
∴CG=
9 |
5 |
∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×
9 |
5 |
7 |
5 |
方法二:如图3,当点P在BC上运动,使△PQR与△COB相似时,
∵∠2是△OBP的外角,
∴∠2>∠3,
∴∠2不与∠3对应,
∴∠2与∠1对应,
∴QR:BO=PR:OC,即:
24 |
5 |
∴PR=
18 |
5 |
过E作EF⊥BD于F,设PB=x,则RF=QE=PB=x,
DF=
ED2-EF2 |
18 |
5 |
∴BD=PB+PR+RF+DF=x+
18 |
5 |
18 |
5 |
7 |
5 |
方法三:如图4,若点P在BC上运动,使点R与C重合,
由菱形的对称性知,O为PQ的中点,
∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线,
∴CO=PO,
∴∠OPC=∠OCP,
此时,Rt△PQR∽Rt△CBO,
∴PR:CO=PQ:BC,
即PR:3=6:5,
∴PR=
18 |
5 |
∴PB=BC-PR=5-
18 |
5 |
7 |
5 |
核心考点
试题【如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,连接AE.AC和BE相交于点O.(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,】;主要考察你对菱形等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知:如图所示,在▱ABCD中,∠A的平分线与BC相交于点E,∠B的平分线与AD相交于点F,AE与BF相交于点O,试说明四边形ABEF是菱形.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
(2)∴AD∥BC.
(3)∴∠ABE+∠BAF=180°.
(4)∵AE、BF分别平分∠BAF、∠ABE,
(5)∴∠1=∠2=
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1 |
2 |
(6)∴∠1+∠3=
1 |
2 |
1 |
2 |
(7)∴∠AOB=90°.
(8)∴AE⊥BF.
(9)∴四边形ABEF是菱形.
…
问:①上述说明过程是否正确?
答:______.
②如果错误,指出在第______步到第______步推理错误,应在第______步后添加如下证明过程.
A.
| B.2
| C.4
| D.6
|
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