题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

如图，扇形OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，点M在DE上，DM=2EM，过点C的直线CP交OA的延长线于点P，且∠CPO=∠CDE。
（1）求证：DM=r；
（2）求证：直线CP是扇形OAB所在圆的切线；
（3）设y=CD²+3CM²，当∠CPO=60°时，请求出y关于r的函数关系式。

答案

（1）证明：如图，连结OC，
        ∵点C是上异于A、B的点，
        又CD⊥OA于点D，CE⊥OB于E，
        ∴∠ODC=∠OEC=∠AOB=90°，
        ∴四边形ODCE是矩形，
        ∴DE=OC，
        ∵OC=OA=r，∴DE=r，
        又∵DM=2EM，
        ∴DM=DE=r。
（2）证明：设OC与DE交于点F，
    则在矩形ODCE中，FC=FD，
    ∴∠CDE=∠DCO，
    又∵∠CPD+∠PCD=90°，∠CPD=∠CDE，
    ∴∠DCO+∠PCD=90°，即PC⊥OC于点C，
    又∵OC是扇形OAB的半径，
    ∴PC是扇形OAB所在圆的切线。
（3）解：过点C作CH⊥DE于点H，
    ∵∠OCD=∠CDH=∠CPO=60°，
    ∴在Rt△OCD和Rt△CDH中，
    CD=OC=r，DH=CD=r，CH=r，
    又MH=DM-DH=r-r=r，
    ∴在Rt△CMH中，
        ，
    则y=
         ==。