题目

题型：山西省中考真题难度：来源：

问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，
证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分线（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴OM=ON（依据2）反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：                                                                                    
依据2：                                                                                     
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

答案

（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等．
（2）证明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴在△OMA和△ONB中，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON．
（3）解：OM=ON，OM⊥ON．
理由如下：连接CO，则CO是AB边上的中线．
∵∠ACB=90°，∴OC=AB=OB，
又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，∴∠2=∠B，
∵BN⊥DE，∴∠BND=90°，
又∵∠B=45°，∴∠3=45°，
∴∠3=∠B，∴DN=NB．
∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°．
又∵BN⊥DE，
∴∠DNC=90°
∴四边形DMCN是矩形，
∵DN=MC，∴MC=NB，∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，∴OM⊥ON．