题目

题型：期末题难度：来源：

阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
（3）若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．

答案

解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．      
（2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF．      
易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．              
（3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK， 其中的矩形ABHK的周长最小．                       
  证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L₁，L₂，L₃，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，
则：L₁=+2a，L₂=+2b，L₃=+2c，
∴L₁﹣L₂=（+2a）﹣（+2b）=﹣（a﹣b）+2（a﹣b）=2（a﹣b），而ab＞S，a＞b，
∴L₁﹣L₂＞0，即L₁＞L₂，
同理可得，L₂＞L₃，
∴L₃最小，即矩形ABHK的周长最小．