题目

题型：不详难度：来源：

如图，在矩形ABEF中，C、D分别是边BE、AF的中点，AB=10，AF=20，点P、Q分别是BC、CD边上的点，且AP⊥PQ．
（1）证明：△ABP∽△PQC；
（2）延长PQ交CF于H，求证：AP=PH
（3）在边AB上是否存在一点G，使四边形GPHD是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

答案

（1）证明：∵四边形ABEF是矩形，
∴AF=BE，AB=EF，∠BAF=∠ABE=∠AFE=∠BEF=90°．
又∵AB=10，AF=20，
∴AF=2AB，
∵C、D分别是BE、AF的中点，


∴四边形ABCD、CDFE是全等的正方形，
∴∠PCD=90°，
∴∠B=∠PCD，∠QPC+∠PQC=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴△ABP∽△PQC；

（2）证明：在AB上截取AM=PC，
∵四边形ABCD、CDFE是全等的正方形，
∴AB=BC，∠ECF=45°，
∴BM=BP，∠PCH=135°，
∴∠BMP=45°，
∴∠AMP=135°，
∴∠AMP=∠PCH，
∵△ABP∽△PQC，
∴∠BAP=∠QPC，
∵在△AMP和△PCH中，

∠MAP=∠CPH AM=PC ∠AMP=∠PCH

，
∴△AMP≌△PCH（ASA），
∴AP=PH；



（3）满足条件的点G是存在的，此时AG=BP．　　
证明如下：令DG与AP的交点为M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠DAG=∠ABP，
∵在△DAG和△ABP中，

DA=AB ∠DAG=∠ABP AG=BP

，
∴△DAG≌△ABP（SAS），
∴DG=AP，∠AGD=∠BPA．
∵AP=PH，∠BAP+∠BPA=90°，
∴DG=HP，∠BAP+∠AGD=90°，
∴∠AMG=90°，
即AP⊥DG，
∵AP⊥PH，
∴DG∥PH，
∴四边形GPHD是平行四边形．