题目

题型：不详难度：来源：

如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O₁和⊙O₂，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，分别连结O₁A、O₁B、O₂A、O₂B和AB。
(1)如图②，当∠AO₁B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；
(2)设∠AO₁B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O₂A所在的直线与⊙O₁有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范围.

答案

（1） （2）（0≤x≤180） （3）O₂A与⊙O₁相切；当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O₂A所在的直线与⊙O₁相交

解析

试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°, ∴
解法二、∵O₁A=O₁B=O₂A=O₂B
∴AO₁BO₂是菱形   ∴∠AO₂B=∠AO₁B=120° ∴l=2×=
(2)∵由（1）知，菱形AO₁BO₂中∠AO₂B=∠AO₁B=x度,
∴重叠图形的周长,   即（0≤x≤180）
(3) 当时，线段O₂A所在的直线与⊙O₁相切！
理由如下：∵，由（2）可知：，    解之x=90度
∴AO₁B=90°,因此菱形AO₁BO₂是正方形，∴O₁AO₂=90°,即O₂A⊥O₁A,
而O₁A是⊙O₁的半径，且A为半径之外端；∴O₂A与⊙O₁相切。
还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O₂A所在的直线与⊙O₁相交
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大