题目

题型：同步题难度：来源：

如图，一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动，并使得一条直角边始终经过B点。
（1）如图1，当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点，= __________；
（2）如图2，当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时，= __________；
（3）如图3或图4，当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时，请你在图3或图4中任选一种情形，求的值，并说明理由

答案

解：（1）1；
       （2）1；
       （3）如图3，
      过点P作PN⊥AB，垂足N在AB的延长线上，PN交CQ于点M
      在正方形ABCD中，AB∥CD
      ∴∠PMQ=∠N=∠CBN=90° 
      ∴CBNM是矩形
      ∴CM=BN ，易证△CMP是等腰直角三角形 
      ∴PM=CM=BN，
      又∠1=∠PBN=90°-∠BPN
      ∴△PMQ≌△BNP(ASA) 
      ∴PQ=PB
      ∴
      如图4，
      过点P作PN⊥AB，垂足N在BA的延长线上，PN的延长线交CQ于点M，
      在正方形ABCD中，AB∥CD，
      ∴∠PMC=∠PNB=∠CBN=90°， 
      ∴CBNM是矩形，
      ∴CM=BN，易证△CMP是等腰直角三角形，
      ∴PM=CM=BN，
      又∠1=∠2=90°-∠BPN，
      ∴△BNP≌△PMQ （ASA），
      ∴PB=PQ
      ∴