题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.
（1）如左图，当点M在AB边上时，连接BN，
         ①求证：△ABN≌△ADN；
         ②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α ，求点M到AD的距离及tanα的值；
（2）如右图，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）， 试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形。

答案

（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB- = AD，∠1 =∠2 
      又∵AN = AN
     ∴△ABN ≌ △ADN
      ②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H，由AD∥BC，
     得∠MAH =∠ABC = 60°，
     在Rt△AMH中，MH = AM·sin60° = 4×sin60° = 2，
      ∴点M到AD的距离为2；
        易求AH=2，则DH=6+2=8
      在Rt△DMH中，tan∠MDH=，
     由①知，∠MDH=∠ABN=α.
     故tanα= ；（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形
此时，∠CAD=45°. 下面分三种情形：
   Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°
     此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
    Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°.
     此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
    Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，
    由AD∥BC，得∠1=∠4，
    又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，从而CM=CN，
    易求AC=6，∴CM=CN=AC-AN=6-6，
       故x = 12-CM=12-（6-6）=18-6
综上所述：当x = 6或12 或18-6时，△ADN是等腰三角形 。