题目

题型：期末题难度：来源：

如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．
（1）求证：点F是CD边的中点；
（2）求证：∠MBC=2∠ABE．

答案

证明：（1）∵正方形ABCD中AD=AB，∠ADC=∠BAD=90°
    ∴∠1+∠2=90°
    ∵AF⊥BE
    ∴∠3+∠2=90°
     ∴∠1=∠3
    在△ADF和△BAE中 
    
    ∴△ADF≌△BAE 
    ∴DF=AE
     ∵AE=DE=AD ，AD=AB
     ∴DF=CF=AB
    ∴点F是CD边的中点
（2）连结BF，并延长交AD的延长线于点N
     ∵正方形ABCD中AD∥BC
     ∴∠4=∠N
    在△NDF和△BCF中
    
     ∴△NDF≌△BCF
     ∴DN=CB
     ∵正方形ABCD中AD=BC=CD
     ∴DN=CD
    ∵BM=DM+CD
     ∴BM=DM+DN=MN
    ∴∠5=∠N=∠4 ，即∠MBC=2∠4
     在△ADF和△BCF中 
        
    ∴△ADF≌△BCF
    ∴∠1=∠4
    ∵∠1=∠3
    ∴∠1=∠4
     ∴∠MBC=2∠3=2∠ABE