题目

题型：北京模拟题难度：来源：

在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流。
原问题：如图（1），已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F探究线段DF与EF的数量关系。
小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解；
小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°；
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况，请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图（2），若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图（3），若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。

答案

解：（1）DF=EF；（2）猜想：DF=FE；
证明：如图（1）所示，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90°
∵DA=DB，∠ADB=60°，
∴AG=BC，△DBA是等边三角形，
∴DB=BA，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°
∴AC=1/2AB=BG，
∴△DBG≌△BAC，
∴DG=BC，
∵BE=EC，∠BEC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴BC=BE，∠CBE=60°，
∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
∵∠DFC=∠EFB，∠DCF=∠EBF，
∴△DFC≌△EFB，
∴DF=EF；（3）猜想：DF=FE；
如图（2）所示，过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90°，
∵DA=DB，
∴AH=BH，∠1=∠HDB，
∵∠ACB=90°，
∴HC=HB，
∵EB=EC，HE=HE，
∴△HBE≌△HCE，
∴∠2=∠3，∠4=∠BEH，
∴HK⊥BC，
∴∠BKE=90°，
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，
∴∠HDB=∠BEH=∠ABC，
∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，
∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°，
∴DB∥HE，DH∥BE，
∴四边形DHEB是平行四边形，
∴BF=EF。