题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图，在△ABC中，AC=BC，CH⊥AB于H，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP，BP分别与BC，AC交于点E，F。
（1）求证：AE=BF；
（2）以线段AE，BF和AB为边构成一个新三角形ABG（点E，F重合于点G），将△ABG和△ABC的面积分别记为S_△ABG和S_△ABC，如果存在点P使得S_△ABG=S_△ABC，求∠C的取值范围。

答案

证明：（1）∵△ABC是等腰△，CH是底边上的高线
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP
又?∵P=CP
∴△ACP≌△BCP
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF
∵∠ACE=∠BCF，∠CAE=∠CBF，AC=BC，
∴△ACE≌△BCF
∴AE=BF
（2）由（1）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，
∴S_△ABC=S_△ABG
∴AE=AC
①当∠C为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；
②当∠C为锐角时，∠A=90°﹣∠C，而∠CAE＜∠A
要使AE=AC，只需使∠C=∠CEA
此时，∠CAE=180°﹣2∠C
只须180°﹣2∠C＜90°﹣∠C
解得60°＜∠C＜90°
（也可在△CEA中通过比较∠C和∠CEA的大小而得到结论）