题目

题型：新疆自治区期末题难度：来源：

如下图已知△ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线。
（1）若∠BAC=60°，∠ACB=40°，求证：BQ+AQ=AB+BP；
（2）若∠ACB=α时，其他条件不变，直接写出∠BAC=（    ）时，仍有BQ+AQ=AB+BP。

答案

解：（1）∵∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣60°﹣40°=80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=∠ABC=×80°=40°，
∴∠CBQ=∠ACB，
∴BQ=CQ，
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，
过点P作PD∥BQ交CQ于点D，
则∠CPD=∠CBQ=40°，
∴∠CPD=∠ACB=40°，
∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，
∵∠ABC=80°，
∴∠ABC=∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵在△ABP与△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=PD，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，
由①②可得，BQ+AQ=AB+BP；
（2）2α