题目

题型：重庆市期中题难度：来源：

（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；
（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．

答案

解：（1）同意，连接EF，则根据翻折不变性得，
∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；
（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，
则有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
即y²+x²=（3x）²
∴y=2x，
∴；
（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=nDF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n﹣1）x]²=[（n+1）x]²
∴y=2x，
∴或．