题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，且AB=CE，CD=BE．
（1）求证：∠AED=90°；
（2）若EN平分∠AED交AD于N，试判断△BCN的形状，并证明；
（3）在（2）问的条件下，猜想：△BNC与四边形ABCD的面积有何数量关系？并说明理由．

答案

（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠ECD=90°，
∵在△ABE和△ECD中，，
∴△ABE≌△ECD（SAS），
∴∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°；
（2）解：△BCN为等腰直角三角形．
证明：∵△ABE≌△ECD，
∴AE=DE，∠BAE=∠DEC，
∵∠AED=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∵EN平分∠AED，
∴∠NED=∠NAE=45°，EN⊥AD，
∴∠BAN=∠CEN，AN=EN，
∵在△BAN和△CEN中，，
∴△BAN≌△CEN（SAS），
∴NB=NC，∠ANB=∠ENC，
∵∠ANB+∠BNE=90°，
∴∠ENC+∠BME=90°，
∴△BNC为等腰直角三角形；
（3）解：2S_△BNC=S_梯形ABCD．
理由如下：作NM⊥BC，
∵△AED为等腰直角三角形，EN平分∠AED，
∴N点为AD的中点，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，NM⊥BC，
∴AB∥CD∥MN，
∴M点为BC的中点，
∴MN为梯形ABCD的中位线，NE⊥BC，
∴S_△BNC=BC·NE·，S_梯形ABCD=BC·NE，
∴2S_△BNC=S_梯形ABCD．