题目

题型：专项题难度：来源：

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF ⊥BD交BC于点F，连接DF，G为DF中点，连接EG、CG.
(1)求证：EG= CG；
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转，如图②，取DF中点G，连接EG、CG.问(1)中的结论是否仍然成立？若成立请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

答案

(1)证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点"
∴CG=FD．
同理，在Rt△FCD中，EG=FD．
∴CG=EG  
(2)(1)中结论仍然成立，即EG=CG.连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，
在△DAG与△DCG中，
∵AD= CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴DAG≌△DCG，
∴AG=CG．在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DC，∠MDC= ∠NFG,
∴∠DMC≌△FNC，
∵MG =NG在矩形AENM中，AM= EN.
在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM= EM，MG =NG，
∴△AMC≌△ENC.
∵AG= EG,
∴ EG= CG
(3)(1)中的结论仍然成立，即EG=CG，其他的结论还有：EG⊥CG.