题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1。
（1）证明：△ABE≌△CBD；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；
（4）求线段BD的长。

答案

解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，
∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，
∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，
即∠BAE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）存在，
答案不唯一，如△ABN∽△CDN，
证明如下：
∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，
∴△ANB∽△CND，
其相似比为：；（3）由（2）得，
∴CN=AN=AC
同理AM=AC，
∴AM=MN=NC。 （4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=60°，
在Rt△CDF中，
∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=，
∴，
在Rt△BDF中，
∵BF=BC+CF=，DF=，
∴。