题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

答案

解：如图．
（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠B=60°．
∴∠BAC=30°．
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠EAF=∠CAF=∠BAC=15°，∠DCF=∠ACF=∠ACB=45°．
∴∠AEF=∠B+∠DCF=60°+45°=105°，
∴∠EFA=180°﹣∠AEF﹣∠EAF=60°．
（2）FE=FD．
如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．
由（1）知∠EAF=∠GAF，
又∵AF为公共边，
∴△EAF≌△GAF，
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．
∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC．
由（1）知∠DCF=∠GCF，
又∵CF为公共边，
∴△FDC≌△FGC，
∴FD=FG．
∴FE=FD．
（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立．
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．
又由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B）=60°．
∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°．
∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°．
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH．
∴FE=FD．