题目
题型:黑龙江省中考真题难度:来源:
(1)如图1,求证:PC=AN;
(2)如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,∠DKE=∠ABC,EF?PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK:CF=2:3,求DQ的长.
答案
如图①,∵BA⊥AM,MN⊥AP,∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB MN⊥AC,∴∠PQA=∠ANM=90°
∴AQ=MN,∴△AQP≌△MNA
∵AN=PQ AM=AP,∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB,PC⊥BC
∴PQ=PC(角平分线的性质),
∴PC=AN;
证法二:
如图①,∵BA⊥AM,MN⊥AC,∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB,∴∠APQ=90°=∠ANM
∴AQ=MN,∴△PQA≌△ANM
∴AP=AM,PQ=AN,∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°,∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∴∠APM=∠BPC,∴∠QPB=∠BPC
∴∠BQP=∠BCP=90°,BP=BP
∴△BPQ≌△BCP
∴PQ=PC,∴PC=AN.
(2)解法一:
如图②,∵NP=2 PC=3,∴由(1)知PC=AN=3
∴AP=NC=5 AC=8,∴AM=AP=5
∴AQ=MN==4
∵∠PAQ=∠AMN∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN==
∵tan∠ABC=,∴BC=6
∵NE∥KC,∴∠PEN=∠PKC,
又∵∠ENP=∠KCP,∴△PNE∽△PCK,
∴=,∴CK:CF=2:3,
设CK=2k,则CF=3k
∴=,NE=k.
过N作NT∥EF交CF于T,则四边形NTFE是平行四边形
∵NE=TF=k,∴CT=CF﹣TF=3k﹣k=k
∵EF⊥PM,∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF,∴∠BPC=∠BFH
∵EF∥NT,∴∠NTC=∠BFH=∠BPC
tan∠NTC=tan∠BPC==2,∴tan∠NTC==2,
∴CT=k=,∴k=,∴CK=2×=3,BK=BC﹣CK=3
∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK,∠DKE=∠ABC,∴∠BDK=∠PKC
tan∠PKC==1,∴tan∠BDK=1.
过K作KG∥BD于G
∵tan∠BDK=1,tan∠ABC=,∴设GK=4n,则BG=3n,GD=4n
∴BK=5n=3,∴n=,∴BD=4n+3n=7n=
∴AB==10,AQ=4,∴BQ=AB﹣AQ=6
∴DQ=BQ﹣BD=6﹣
解法二:
如图③,∵NP=2,PC=3,∴由(1)知PC=AN=3
∴AP=NC=5,AC=8,∴AM=AP=5
∴AQ=MN==4
∵NM∥BC,∴∠NMP=∠PBC
又∵∠MNP=∠BCP,∴△MNP∽△BCP
∴=,∴=
BC=6
作ER⊥CF于R,则四边形NERC是矩形
∴ER=NC=5,NE=CR
∵∠BHE=∠BCR=90°
∴∠EFR=90°﹣∠HBF∠BPC=90°﹣∠HBF
∴∠EFR=∠BPC,∴tan∠EFR=tan∠BPC,∴=,即=
∴RF=,
∵NE=KC,∴∠NEP=∠PKC
又∵∠ENP=∠KCP,∴△NEP∽△CKP,∴==
∴CK:CF=2:3,设CK=2k,CF=3k
∴NE=CR=k,CR=CF﹣RF=3k﹣,∴3k﹣=k
∴k=,∴CK=3 CR=2×BK=3
在CF的延长线上取点G,使∠EGR=∠ABC,∴tan∠EGR=tan∠ABC
∴==,∴RG=ER=,EG==,KG=KC+CR+RG=,
∵∠DKE+∠EKC=∠ABC+∠BDK,∠ABC=∠DKE,∴∠BDK=∠EKC,
∴△BDK∽△GKE,∴=
∴BDEG=BKKG,∴∠BDK=∠EKC,∴△BDK∽△GKE,∴BD=
∴AB==10,AQ=4,∴BQ=AB﹣AQ=6
∴DQ=BQ﹣BD=6﹣=
解法三:
如图④,∵NP=2,PC=3,∴由(1)知PC=AN=3
∴AP=NC=5,AC=8,∴AM=AP=5
∴AQ=MN==4
∵NM∥BC,∴∠EMH=∠PBC∠PEN=∠PKC
又∵∠PNE=∠PCK,∴△PNE∽△PCK,△PNM∽△PCB
∴=,=,∴CK:CF=2:3,设CK=2k,CF=3k
∴=,=,∴NE=k,BC=6
∴BF=6+3k,ME=MN﹣NE=4﹣k
tan∠ABC==,BP==3
∴sin∠EMH=sin∠PBC==
∵EF⊥PM,∴FH=BFsin∠PBC=(6+3k)
EH=EMsin∠EMH=(4﹣k)
∴tan∠REF=tan∠PBC=,∴tan∠REF=×RF=
∴EF==,∴EH+FH=EF
∴(4﹣k)+(6+3k)=,∴k=
∴CK=2×=3,BK=BC﹣CK=3
∴∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK∠DKE=∠ABC,∴∠BDK=∠PKC
∵tan∠PKC=1,∴tan∠BDK=1,
过K作KG⊥BD于G
∴tan∠BDK=1,tan∠ABC=
∴设GK=4n,则BG=3n,GD=4n
∴BK=5n=3,∴n=,∴BD=4n+3n=7n=
∴AB==10,AQ=4,∴BQ=AB﹣AQ=6
∴DQ=BQ﹣BD=6﹣.
核心考点
试题【已知:在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,AQ=MN.(1)如图】;主要考察你对全等三角形的判定等知识点的理解。[详细]
举一反三
求证:AM=AN.
(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;
(2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?请说明理由,并求出此时菱形AECD的面积.
(1)求证:△ABC≌△BDE;
(2)△BDE可由△ABC旋转得到,利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法).
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