题目

题型：崇文区二模难度：来源：

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转．
（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是______，数量关系是______；
（2）继续旋转三角板，旋转角为α．请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若OF=

5

6

，求PE的长．

答案

（1）垂直，相等．
画图如右图（答案不唯一）

（2）（1）中结论仍成立．
证明如下：
过A作AM⊥DC于M，
则四边形ABCM为矩形．
∴AM=BC=2，MC=AB=1．
∵DC=2，
∴DM=

2

2

=1．
∴DC=BC．
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=90°，CE=CF．
∵∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
在△DCE和△BCF中，

DC=BC ∠DCE=∠BCF CE=CF

，
∴△DCE≌△BCF，
∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠5=∠BCD=90°，
∴DE⊥BF，
∴线段DE和BF相等并且互相垂直．

（3）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴

AB

CD

=

OA

OC

=

OB

OD

，
∵AB=1，CD=2，
∴

OA

OC

=

OB

OD

=

1

2

，
在Rt△ABC中，
AC=

AB2+BC2

=

1+4

=

5

，
∴OA=

5

3

，


同理可求得OB=

2 2

3

，
∵OF=

5

6

，
∴AF=OA+OF=

5

2

=

AC

2

，
∴CE=CF=

5

2

．
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠OBC=45°，
由（2）知△DCE≌△BCF，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠OBC=45°
∴△CPE∽△COB，
∴

PE

OB

=

CE

BC

，
∴

PE

2 2 3

=

5 2

2

，
∴PE=

10

6

．