题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．
（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

答案

解：（1）y = 2t；
（2）当BP = 1时，有两种情形：
①如图1，若点P从点M向点B运动，有 MB = = 4，MP = MQ = 3，
∴PQ = 6．连接EM，
∵△EPQ是等边三角形，
∴EM⊥PQ．
∴．
∵AB = ，
∴点E在AD上．
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为．
②若点P从点B向点M运动，由题意得．
PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．
设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，
过点P作PH⊥AD于点H，则 HP = ，AH = 1．
在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，
∴HF = 3，PF = 6．
∴FG = FE = 2．
又∵FD = 2，
∴点G与点D重合，如图2．此时△EPQ与梯形ABCD 的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为．
（3）能．4≤t≤5．