题目

题型：甘肃省中考真题难度：来源：

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h。
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h₃=0，可得结论：h₁+h₂+h₃=h，
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外。
（1）请探究：图（2）--（5）中，h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论；
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h₁、h₂、h₃、h₄，桥形的高为h，则h₁、h₂、h₃、h₄、h之间的关系为：___________；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

答案

解：（1）图②-⑤ 中的关系依次是：
h₁+h₂+h3=h；h₁-h₂+h₃=h；h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h；
（2）图②中，h₁+h₂+h₃=h，
∵h₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0， 
∴h₁+h₂+h₃=BPsin60°+PCsin60°=BCsin60°=ACsin60°=h；
（3）图④中，h₁+h₂+h₃=h．过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S，
在△ARS中，由图②中结论知：h₁+h₂+0=h-h₃，
∴ h₁+h₂+h₃=h；
（4）h₁+h₃+h₄=，
让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广。