题目

题型：宁夏自治区竞赛题难度：来源：

已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．
（1）求证：△AGE≌△DAB；
（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．

答案

解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，
∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，
∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．
∵DE=DC，
∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，
∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，
∴△AGE≌△DAB；
（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．
∵EF∥DB，DG∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形．
∴EF=BD，
∴EF=AE．
∵∠DBC=∠DEF，
∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，
即∠AEF=∠ABC=60°．
∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60 °．