题目

题型：不详难度：来源：

如图：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，M是直线BC上的任意一点，在射线EF上截取EN，使EN=FM，连接DM、MN、DN．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你按已知要求补全图形，并判断△DMN是怎样的特殊三角形（不要求证明）；
（2）请借助图②当点M在线段BF上（与点B、F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）请借助图③当点M在射线FC上（与点F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立？不要求证明．

答案

（1）如图①，
△DMN是等边三角形．

（2）如图②，当M在线段BF上（与点B、F重合）时，△DMN仍是等边三角形．
证明：连接DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=AC=BC．
∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF是等边三角形的中位线．
∴DF=

1

2

AC，BD=

1

2

AB，EF=

1

2

AB，BF=

1

2

BC．
∴∠BDF=∠A=∠DFE=60°，DF=BF=EF，
∴∠ABC=∠DFE，
∵FM=EN，


∴BM=NF，
∴△BDM≌△FDN，
∴∠BDM=∠FDN，MD=ND，
∴∠BDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF=∠MDN=60°，
△DMN是等边三角形；

（3）如图③或图④，当点M在射线FC上（与点F不重合）时，（1）中的结论不成立，
即△DMN不是等边三角形．