题目

题型：同步题难度：来源：

如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°。
（1）求∠NMB的大小；
（2）如果将图中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
（3）你发现有什么样的规律？试证明；
（4）将∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？

答案

解：（1）因为AB=AC，
所以∠B=∠ACB（等边对等角），
所以∠B=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°，
因为∠BNM=90°，所以∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°；（2）如图①，同（1），同理可得∠BMN=35°；（3）如图②，∠NMB的大小为∠A的一半；证明如下：
设∠A=α，
因为AB=AC，
所以∠B=∠C，
所以∠B=，
因为∠BNM=90°，所以∠BMN=90°-∠B=90°-，
即∠BMN等于顶角的一半；（4）将∠A改为钝角，这个规律性的认识也无需修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半。