题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动。请直接写出点H所经过的路径长。（不必写解答过程）

答案

解：（1）由题意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2-m，AD=4-m，
∴点D的坐标为（2，4-m）。（2）分三种情况
①若AP=AD，则4+m²=（4-m）²，解得
②若PD=PA
过P作PF⊥AB于点F（如图），
则AF=FD=AD=（4-m）
又OP=AF
∴
∴。
③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=PD=AD=（4-m），
∵PC²+CM²=PM²，
∴ 解得（舍去）
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或。（3）点H所经过的路径长为。