题目

题型：黑龙江省中考真题难度：来源：

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）．
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

答案

解：（2）图2中结论PR+PQ=仍成立．
 证明：连接BP，过C点作CK?BD于点K．  
∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD=90°，
又∵CD=AB=3，BC=4， ∴BD===5． ∵S_△BCD=BC×CD=BD×CK，
∴3×4=5CK，
∴CK=．
∵S_△BCE=BE×CK，S_△BEP=PR×BE， S_△BCP=PQ×BC，且S_△BCE=S_△BEP+S_△BCP，
∴BE×CK=PR×BE+PQ×BC，
又∵BE=BC，
∴CK=PR+PQ，
∴CK=PR+PQ，
又∵CK=，
∴PR+PQ=；  
（3）连接BP，S△BPE﹣S_△BCP=S_△BEC，
S_△BEC 是固定值，
BE=BC 为两个底，
PR，PQ 分别为高，
图3中的结论是PR﹣PQ=．