题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD。
（1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若BD∶AB=∶2，求⊙O的半径及DF的长。

答案

解：（1）证明：连接OD，
∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，
∴∠CDE+∠ODE=90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠DEO=∠DEC=90°，
∴∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠EOD，
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=2∠B；
（2）连接AD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD∶AB=∶2，
∴在Rt△ADB中，cosB=，
∴∠B=30°，
∴∠AOD=2∠B=60°，
又∵在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=，即⊙O的半径为，
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5，
∵弦DF⊥直径AB于点E，
∴DE=EF=DF，
∴DF=2DE=10。