题目

题型：北京期末题难度：来源：

在平面直角坐标系中，已知x轴上两个点A（2m-6，0），B（4，0）分别在原点两侧，且A、B两点间的距离小于7个单位长度。
（1）求m的取值范围；
（2）C是AB的中点且为整点（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），若D为整点，当△BCD为等腰直角三角形时，求出点D的坐标。

答案

解：（1）∵A（2m-6，0），B（4，0），
∴AB=|2m-6-4|=|2m-10|，
∵A、B两点间的距离小于7个单位长度，
∴|2m-10|＜7，
∴-7＜2m-10＜7，
∴＜m＜，
又∵点A（2m-6，0），B（4，0）分别在原点两侧，
∴2m-6＜0，
∴m＜3，
∴＜m＜3；
（2）∵C是AB的中点且为整点，
∴C点横坐标为：=m-1，且m-1为整数，
∴m为整数，由（1）知＜m＜3，
∴m=2，
∴C（1，0），BC=4-1=3，
当△BCD为等腰直角三角形时，分三种情况：
①如果∠DCB=90°，DC=BC，则D₁（1，3），D₂（1，-3）；
②如果∠DBC=90°，DB=CB，则D₃（4，3），D₄（4，-3）；
③如果∠CDB=90°，CD=BD，则D在BC的垂直平分线上，
则D点的横坐标为：=，不是整数，不合题意，舍去，
综上，可知所求点D的坐标为：D1（1，3），D₂（1，-3），D₃（4，3），D₄（4，-3）。